“哎……”

旁白：“是誰，一聲嘆息，如此沉重？”

作者：“像是來自虛空？”

旁白：“什么是虛空？”

數(shù)學(xué)：“我來自虛空，來自看似無實(shí)則有的虛空?！?/span>

旁白：“你說得太復(fù)雜了，我聽不懂。你為何嘆息？”

數(shù)學(xué)：“新學(xué)期開始沒幾天，我又遭受了無數(shù)次無辜的謾罵。”

旁白：“哈哈，也不能怪他們咒罵你，我也想罵你，你太難理解了，而且沒有用，還要記一堆東西?！?/span>

作者：“這不是數(shù)學(xué)的錯(cuò)，這是數(shù)學(xué)教育的錯(cuò)，數(shù)學(xué)不是記憶，數(shù)學(xué)是探索。”

“嗚嗚……”聽到作者如此說，數(shù)學(xué)嚎啕大哭。

旁白：“你哭什么？”

數(shù)學(xué)：“終，得遇知音。太感動(dòng)了。我可以回到虛空了，再見了……”

旁白：“等等，我還想聽聽你的想法呢？我說數(shù)學(xué)沒有用?！?/span>

作者：“數(shù)學(xué)離開了，她已經(jīng)遁入虛空，就由我來回答你的問題。沒有數(shù)學(xué)，飛機(jī)就上不了天，沒有數(shù)學(xué)，你也不能通過手機(jī)等媒介看到我的文章，沒有數(shù)學(xué)……”

旁白：“等等，這個(gè)我知道，科學(xué)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)。我是說數(shù)學(xué)對(duì)我們普通人來講沒有用。”

作者：“那是因?yàn)槟銢]有接觸數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是探索，是思維的游戲。后面我會(huì)為你詳細(xì)解釋?！?/span>

旁白：“我姑且相信你說的，假設(shè)數(shù)學(xué)真的有用，我們普通人學(xué)點(diǎn)加減乘除就可以了啊，沒有必要學(xué)習(xí)三角函數(shù)，微積分這些啊，工作之后完全沒有用到。”

作者：“那是知識(shí)沒有用，不是數(shù)學(xué)沒有用。知識(shí)只有在特定領(lǐng)域才能發(fā)揮作用。”

旁白：“這句話作何理解？”

作者：“你且聽我慢慢為你分析?！?/span>

旁白：“好的，那數(shù)學(xué)到底應(yīng)該怎么學(xué)？學(xué)什么？”

作者：“待我徐徐說來?！?/span>

……

這篇文章會(huì)比較長，耗費(fèi)的時(shí)間比較多，且慢慢的讀。

首先，先說一下怎么學(xué)？

（一）吃透基本概念

為什么憎恨數(shù)學(xué)？最主要的一個(gè)原因是不理解數(shù)學(xué)概念，需要去記憶數(shù)學(xué)概念。

讓我們?cè)俣却┰綒v史的長河回到過去，回到那個(gè)數(shù)字沒有被發(fā)明創(chuàng)造的時(shí)代。碰巧在那個(gè)狩獵時(shí)代，你負(fù)責(zé)看守打回來的獵物，起初有一個(gè)獵物進(jìn)來你就擺一顆石頭，后來，由于需要向酋長匯報(bào)，沒法把石頭一股腦兒搬過去。

后來你進(jìn)一步想（你是個(gè)跨越千年的不死老妖，哈哈），想到了用繩子打結(jié)，多了一只獵物就在繩上打個(gè)結(jié)，這個(gè)方法果然方便了很多。但是隨著族群的壯大，新的問題隨之而來，獵物越來越多，繩子越來越長，你帶著繩子向酋長匯報(bào)顯得不可能了，而且每次都要數(shù)繩結(jié)不勝其煩。

你又發(fā)揮你聰明的大腦繼續(xù)想，你想到發(fā)明符號(hào)來代表數(shù)量，有一只獵物劃一豎，就像“////”這樣，隨著時(shí)間的推移，你發(fā)現(xiàn)這樣雖然和結(jié)繩比起來方便了很多，但是依然有一個(gè)問題，數(shù)量很大很大的時(shí)候，需要刻畫很多很多個(gè)“/”。另外一個(gè)問題，很不不直觀，數(shù)“////////////////////////”數(shù)和“////////////////////////”哪個(gè)數(shù)大?大多少?很難計(jì)算出來。

你沒有停下思考的腳步，繼續(xù)向前邁進(jìn)，分別用符號(hào)“123456789”表示“/”~“/////////”，到了這里就已經(jīng)和現(xiàn)代計(jì)數(shù)系統(tǒng)很像了，這里再次遇到了一個(gè)難題，大于9的數(shù)怎么表示?是繼續(xù)創(chuàng)造新的字符往下么，比如“a”，“b”……如果這樣的話又變成了窮舉法，數(shù)字可以大多無窮，窮盡所有的字符都無法完整表示，而且又將陷入上面的問題，無法計(jì)算，比如比較大小。所以，你放棄了這條路，你打算用現(xiàn)有的這些符號(hào)來組合，于是乎，數(shù)位的概念就可以應(yīng)運(yùn)而生了，數(shù)字在不同的位置上代表著不同的含義，比如11可以表示“///////////”這個(gè)數(shù)，以此類推，而且有了這個(gè)位置的概念，再大的數(shù)也可以表示，無非是百位，千位等位置上放上數(shù)字，再小的數(shù)也可以表示，無非是在十分位，百分位等位置上放上數(shù)字。

這一套數(shù)字系統(tǒng)非常方便計(jì)數(shù)，非常方便比大小，非常方便擴(kuò)展，而且這套計(jì)數(shù)系統(tǒng)可以成為人類乃至從古至今通用的語言，所以，不是數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了數(shù)學(xué)，而是歷史的選擇。

能深刻的理解這套數(shù)字系統(tǒng)，由“0~9”這個(gè)十個(gè)符號(hào)來表示數(shù)，那么，出現(xiàn)這樣的題——由“0~5”這六個(gè)字符來表示數(shù)，也就可以順利解答了。比如：

圖中有幾個(gè)蘋果，用“0~9”這個(gè)十個(gè)字符來表示，很簡單，為7個(gè)。用“0~5”這六個(gè)字符表示呢？由于，六個(gè)字符，如果不考慮組合的方式，最多只能表示“六“個(gè)蘋果，由于，0表示沒有，圖中蘋果的數(shù)量為11個(gè)。

我們?cè)購摹坝杏谩钡慕嵌瓤?，為什么需要吃透概念，?shù)字系統(tǒng)的誕生看似偶然，實(shí)則是必然的結(jié)果。從吃透基本概念中，你可以學(xué)會(huì)從無數(shù)個(gè)偶然事件中看必然結(jié)果，而這個(gè)思維在研究歷史時(shí)必然需要用到，天下分久必合，合久必分，這是現(xiàn)象，其背后的必然性是什么？

（二）從上層建筑入手

從上層建筑開始，以思維為紐帶把知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，這如何理解？數(shù)學(xué)中有一個(gè)最重要的思想，數(shù)形結(jié)合，我們順著數(shù)形結(jié)合的思想做一下解釋。

當(dāng)我們看到(a b)^2=a^2 b^2 2*a*b這個(gè)等式，甚是疑惑。

“這個(gè)等式的成立，我也表示很疑惑?！睌?shù)學(xué)說。

作者：“你怎么又出來了？”

數(shù)學(xué)：“在虛空中比較煩悶，出來晃悠晃悠?！?/span>

作者：“……”

不管三七二十一，我們通過數(shù)形結(jié)合看一下，把這個(gè)等式用圖的方式表達(dá)，畫出來一看，一目了然。

有了數(shù)形結(jié)合的思想，我們?cè)賮砜?span id="k4b1wye" class="candidate-entity-word" data-gid="4737706">乘法分配律，aX(b c)=aXb aXc，是不是很容易理解了？

兩個(gè)看似毫無關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)，可以通過數(shù)形結(jié)合思想為紐帶產(chǎn)生聯(lián)結(jié)。我們來看一個(gè)更有意思的案例。

其中，i=√-1,也就是虛數(shù)單位。這個(gè)數(shù)列乍看起來比較簡單，用語言描述起來，如果n為偶數(shù)，則bn為 1或者-1；如果n為奇數(shù)，則bn為 i或者-i?？雌饋硎且粋€(gè)周期數(shù)列，周期為4。這可以是一個(gè)解，那我們順著數(shù)形結(jié)合的思想看一下，會(huì)產(chǎn)生什么神奇的結(jié)果?？紤]一下從復(fù)平面的角度入手。什么是復(fù)平面呢，以x軸為實(shí)數(shù)軸，以y軸為虛數(shù)軸而組成的坐標(biāo)平面，這樣的話，所有的復(fù)數(shù)就可以表示為平面上的一個(gè)點(diǎn)了，即x yi等價(jià)于（x,y）坐標(biāo)。對(duì)應(yīng)到我們題中的數(shù)列，我們稍加整理一下我們的數(shù)列，則為1 0i,0 1i,-1 0i,0-1i,1 0i,0 1i,-1 0i,0-1i,…這個(gè)數(shù)列可以用如下的坐標(biāo)表示（1，0），（0，1），（-1，0），（0，-1），（1，0），（0，1），（-1，0），（0，-1）,…

這些點(diǎn)，能讓你想到什么？是不是可以想象它是正方形的頂點(diǎn)?是不是也可以想象它是單位圓上的點(diǎn)?我們不妨把它畫出來。

一般，單位圓，又可以用公式如下歐拉公式來表示。

如此看來，則四個(gè)點(diǎn)就可以如此表示了。

所以，最終的通項(xiàng)式可以表示為這個(gè)形式。

沒有數(shù)形結(jié)合在這些知識(shí)點(diǎn)之間做聯(lián)結(jié)，恐怕很難會(huì)想到一個(gè)數(shù)列的問題，可以和歐拉公式產(chǎn)生聯(lián)系，可以和單位圓產(chǎn)生聯(lián)系。所以，這就是我們上面提到的從上層建筑入手的意義。

（三）養(yǎng)成“提問”習(xí)慣 發(fā)現(xiàn)“科學(xué)之美”

怎么問？問什么？問一些違背直覺的問題，問一些司空見慣的問題。

為什么一個(gè)數(shù)的零次冪必須等于1，為什么不等于0？順著這個(gè)直覺，任意一個(gè)數(shù)的零次冪，m的零次冪，即零個(gè)m相乘，直觀地看上去應(yīng)該是0，就像任意數(shù)乘以零，理解為零個(gè)數(shù)相加等于零一樣，而不應(yīng)該是1。多問為什么，就有了探索的動(dòng)力。像量子力學(xué)，光速不變?cè)?/span>，有諸多看起來違背直覺的問題，自然也就有了強(qiáng)烈的求知的欲望。

（四）歸納作結(jié)

怎么做？圍繞著不同的維度去總結(jié)學(xué)過的東西，可以圍繞著數(shù)學(xué)思想，可以圍繞著知識(shí)點(diǎn)，可以圍繞著方法等等，知識(shí)體系在歸納總結(jié)中不斷地交織融合，不斷地產(chǎn)生聯(lián)想與發(fā)散。

比如圍繞著數(shù)學(xué)思想進(jìn)行總結(jié)：

比如，圍繞著知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)：同底等高的平行四邊形面積關(guān)系（其中，長方形是特殊的平行四邊形）如下圖所示。

順著這個(gè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：如下這些題都可以放在一起學(xué)習(xí)。

第一部分，我們主要回答了，數(shù)學(xué)怎么學(xué)，大體就從這幾個(gè)方面說明一下，不限于這幾個(gè)方面。第二部分，我們將主要從數(shù)學(xué)思維的角度來說明數(shù)學(xué)有什么用。

數(shù)學(xué)有什么用，本身不應(yīng)該成為一個(gè)問題，這是一個(gè)荒謬的問題，撇開數(shù)學(xué)在科學(xué)發(fā)展中的應(yīng)用不談，數(shù)學(xué)和音樂、繪畫、讀書一樣，首先是愉悅自我，探索數(shù)學(xué)問題本身就是一件充滿樂趣的事，當(dāng)然這是對(duì)數(shù)學(xué)愛好者而言，我們今天主要是面向被錯(cuò)誤數(shù)學(xué)觀念給折磨得痛苦不堪的人來談?wù)剶?shù)學(xué)的有用。

旁白：“我現(xiàn)在已經(jīng)不用學(xué)數(shù)學(xué)了，我就是那個(gè)被數(shù)學(xué)折磨得痛苦不堪的人，你說不是數(shù)學(xué)沒有用，是知識(shí)沒有用，我已經(jīng)迫不及待的想看你如何為數(shù)學(xué)辯解?！?/span>

作者：“好的，我將主要從數(shù)學(xué)思維的角度來辯解。”

數(shù)學(xué)有什么用？

（一）抽象思維

依照慣例，我們先介紹數(shù)學(xué)思維，以及在數(shù)學(xué)中應(yīng)用，然后再看其推廣到其他領(lǐng)域中的應(yīng)用。

從前，普魯士王國的首府柯尼斯堡，有一條名為普列戈利亞河的大河流經(jīng)，位于河中央的小島上。

當(dāng)時(shí)，這條普列戈利亞河上總共建了七座橋，而不知從什么時(shí)候，人們開始熱烈地討論起一個(gè)話題：“假設(shè)可以從任何一座橋出發(fā)，請(qǐng)問在七座橋都走且只走一遍的前提下，怎么回到出發(fā)點(diǎn)？”

在解決這道題時(shí)，歐拉把市區(qū)、橋和河川的關(guān)系，簡化為下面的圖像。

通過建立了這個(gè)“圖模型”，得出“無法在七座橋都各走一遍的前提下回到出發(fā)點(diǎn)”的結(jié)論。那么，歐拉是怎么證明的呢？歐拉進(jìn)一步做了一個(gè)模型，分兩種情況看，奇點(diǎn)情況和偶點(diǎn)情況。

有了模型化思想，我們能做啥？

初中物理中要學(xué)習(xí)電路分析，電路分析也是一個(gè)非常典型的模型化思想，把復(fù)雜的實(shí)物電路模型化——用圖的方式表示處理。

把實(shí)際的電路圖，用抽象的圖來表示，去掉無關(guān)緊要的因素，再借助類比思想，把電流類比為水流，用更直觀的方式來分析電路圖，初中是這么分析，上了大學(xué)電路也是用這種方式分析。

旁白：“等等，你這個(gè)說的是有道理，的確這個(gè)數(shù)學(xué)思維很有用，但是這個(gè)還是在學(xué)習(xí)理科中的應(yīng)用，對(duì)于普通人有什么用呢？”

作者：“那么我們看看，在工作中的應(yīng)用，如何？”

在寫程序中就會(huì)經(jīng)常使用管道模型這個(gè)模型化思維。

我之前做過的一個(gè)數(shù)據(jù)采集工具，就是借助了管道模型的思想，這樣做可以實(shí)現(xiàn)過程解耦，邏輯看起來也會(huì)很清晰。

（二）對(duì)比思維

我們從最簡單的一個(gè)問題看，乘法交換律。

在小學(xué)時(shí)，我們就學(xué)過，設(shè)a,b為整數(shù)，則有a×b=b×a。到了中學(xué)，會(huì)進(jìn)一步擴(kuò)展，會(huì)學(xué)到無理數(shù)，對(duì)比著看，整數(shù)和無理數(shù)性質(zhì)沒有太大的差異，都可以在軸上任意表示出來，既然整數(shù)滿足乘法交換律，無理數(shù)理應(yīng)滿足。無理數(shù)乘法交換律可以用不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒ê唵巫C明一下，即通過長方形面積公式，對(duì)于一個(gè)長方形而言，長為a,寬為b，其中，a,b都是無理數(shù)，其面積為a×b，另一個(gè)長方形長為b,寬為a,其面積為b×a，這兩個(gè)長方形面積相等，由此，可知無理數(shù)滿足乘法交換律。

到了大學(xué)學(xué)我們會(huì)學(xué)習(xí)到虛數(shù)，自然而然地我們應(yīng)該把虛數(shù)和實(shí)數(shù)對(duì)比著學(xué)習(xí)，虛數(shù)和實(shí)數(shù)相比也有相似之處，從復(fù)平面的角度看，實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)軸上點(diǎn)，一般用x軸表示，虛數(shù)是虛數(shù)軸上的點(diǎn)，一般用y軸表示。既然，兩者如此相似，自然而然地我們應(yīng)該想到虛數(shù)也應(yīng)該滿足乘法交換律。

線性代數(shù)中也有乘法，矩陣的乘法，看到乘法，我們自然而然的會(huì)想，矩陣中的乘法滿足交換律么？答案是不滿足，這個(gè)證明過程我就不再贅述。再比如群論中，辮群也是不滿足乘法交換律的。

從整數(shù)的研究到負(fù)數(shù)，繼而到無理數(shù)，再到虛數(shù)的研究就是在對(duì)比思想引導(dǎo)下推進(jìn)前行，學(xué)習(xí)也應(yīng)該在對(duì)比思維引導(dǎo)下把這些知識(shí)串聯(lián)起來。

有了對(duì)比思維，我們能做什么？

在中學(xué)階段學(xué)習(xí)化學(xué)將大有裨益。我們透過一個(gè)小案例分析一下，先來看一下化學(xué)元素表。

先問大家一個(gè)問題:“化學(xué)元素表為什么要這樣排列?”各位看官可以先思考一下。

好了，我們直接來看，最直觀的原因是同一列元素其外層電子數(shù)一樣的，外層電子數(shù)一樣意味著什么呢？哈哈，不用我說，各位看官應(yīng)該也能猜到外層電子數(shù)相同，其化學(xué)性質(zhì)會(huì)有相似性。因此，化學(xué)最適合通過對(duì)比思想來學(xué)習(xí)的一門科目了。

比如，納和鋰，最高正價(jià)都是 1價(jià)，表現(xiàn)出相似的氧化還原性質(zhì)，都容易和氧氣發(fā)生反應(yīng)；它們的化合物都是強(qiáng)電解質(zhì)，溶于水時(shí)釋放出離子，具有相似的水解性質(zhì)；他們的化合物都有碳酸鹽，能與酸反應(yīng)生成二氧化碳；它們的化合物都屬于強(qiáng)堿弱酸鹽等等。現(xiàn)在的新能源汽車已成燎原之勢(shì)，現(xiàn)在最熱門的電池是鋰離子電池，目前也有在研究鈉離子電池，為什么研究鈉離子電池呢？看一眼元素周期表或許就能明白了鈉和鋰在同一列，其化學(xué)性質(zhì)有諸多相似性，那么，研究鈉離子電池也就是順理成章的事情了。我們?nèi)祟愂?span id="naxxwbh" class="candidate-entity-word" data-gid="3464596">碳基生命，而計(jì)算機(jī)是硅基，對(duì)比著看，或許不久的將來硅基將會(huì)誕生意識(shí)，今年ChatGPT一度被按下暫停鍵，就是人類擔(dān)心硅基生命有了意識(shí)，那將是一件非?？膳碌氖拢祟惢蛟S會(huì)有滅頂之災(zāi)。

我們主要從數(shù)學(xué)思維層面來說明數(shù)學(xué)有用，當(dāng)然，數(shù)學(xué)思維遠(yuǎn)不止我文中提到的數(shù)形結(jié)合、歸納推理、抽象化、對(duì)比等思維模型，還有諸如化整為零，微積分等思維模型，這里我們就不一一而足了，畢竟這篇文章已經(jīng)寫的很長了。

旁白：“等等，我正在興頭上，不能就此結(jié)束。”

數(shù)學(xué)：“對(duì)啊，我也是，你再講講嘛，我還是第一次聽到有人為我做如此多的辯解。意猶未盡啊?！?/span>

作者：“不行了，我實(shí)在是講不動(dòng)了，來日方長。”

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